jueves, 22 de febrero de 2018

APOLONIO RCC. (Inversión, potencia y dilataciones).

Uno de los problemas de Apolonio más complejos es trazar las tangentes a dos circunferencias y una recta (caso RCC). En esta ocasión vamos a resolverlo empleando procedimientos de inversión (positiva y negativa) potencia y dilantando las circunferencias y la recta.

Si las circunferencias están a un mismo lado de la recta y no son tangentes entre sí existen OCHO soluciones.

Para resolver el problema tenemos que emplear diferentes métodos y simplificarlo a otros casos que ya hemos explicado. Se trata de tener los conceptos claros.

De partida planteamos el problema con una de las circunferencias más pequeña (C1) que la otra (C2) y dibujando una recta (r) que no corta a las circunferencias.

INVERSIÓN POSITIVA

A1. Planteamiento del problema. Hipótesis de inversión 1.

Nuestro primer objetivo es simplificar el problema en otro que podamos resolver fácilmente. Podemos simplificarlo en el caso Prc. Luego si lo volvemos a simplificar llegaremos al problema básico, caso PPr.

Para hacer esto vamos a dilatar una de las circunferencias (C2, la mayor) y también la recta. El primer paso por lo tanto será sumar y restar el radio de la circunferencia menor (C1) a la circunferencia mayor. Trazaremos las circunferencias paralelas a C2 y luego las paralelas a la recta (r) a una distacia igual al radio de la circunferencia menor.

Ahora tenemos que plantear la inversión en el plano. Si trazamos la perpendicular a la recta por el centro de la circunferencia (O2) obtenemos un primer centro de inversión (C_inv) y un punto A del que podemos obtener su inverso Ai.

Para comenzar escogemos la circunferencia a la que hemos restado el radio C1. En un extremo del diámetro encontraremos el centro de la inversión (C_inv) y en el otro extremo el punto A y en prolongación del diámetro C-O2-A se encontrará el inverso Ai, concretamente en la intersección con la recta más alejada de las circunferencias.

Lo que hemos hecho con esta operación es transformar la circunferencia más pequeña (C1) en un punto mientras que la circunferencia mayor la hemos disminuido proporcionalmente a la más pequeña. Además trabajaremos con la recta paralela a (r) más alejada a la circunferencia C1 para no cambiar las condiciones de tangencia. 

En definitiva, con este paso estamos realizando el problema de Apolonio anterior: el caso Prc (punto, recta y circunferencia).

A continuación trazando el arco capaz entre el centro de inversión (C_inv) y Ai determinaremos la circunferencia de puntos dobles (c.p.d.) también llamada de autoinversión.

A2. Hallar el centro radical y el inverso de O1.

En este primer planteamiento, el punto de intersección de la recta más alejada de C1 con la recta que une el centro de inversión y el centro de la circunferencia (O1) nos determina el centro radical (CR).

Para hallar el punto inverso de O1 utilizaremos la circunferencia de autoinversión que habíamos trazado en el paso anterior. Ahora tenemos dos puntos (O1 y su inverso Oi) y una circunferencia (C1).


También tenemos otra manera de conseguir el punto inverso de O1 mediante la circunferencia concíclica que pasa por los puntos O1, A y Ai. En la siguiente imagen podemos ver que el resultado es el mismo punto Oi. Esto nos evitaría trabajar con la circunferencia de autoinversión.


Una vez aclarado este punto, a partir de ahora podemos continuar el problema como en el caso PPR y trazar las tangentes a dos puntos y una recta utilizando los conceptos de potencia.

A3. Cicunferencia auxiliar y mediatriz.

Dibujamos la circunferencia auxiliar que tiene su centro en la mediatriz de O1-Oi y que pasa por estos puntos y procedemos igual que en el caso PPR para hallar la circunferencias tangentes. En la mediatriz de los puntos O1-Oi se encontrarán los centros de las circunferencias que buscamos.

A4. Hallar el punto de tangencia desde el CR a la circunferencia auxiliar.

Si trazamos el arco capaz entre CR y el centro de la circunferencia auxiliar, en la intersección de ambas curvas hallaremos el punto de tangencia T (punto de igual potencia de todas las circunferencias del haz de soluciones).

A continuación trasladamos el punto de tangencia T sobre la recta más alejada (en la que trabajamos en nuestro planteamiento de partida) para hallar los puntos K y L.

En la perpendicular a K y L encontraremos los puntos de tangencia y centros de las circunferencia que buscamos.

 A5. Trazar las circunferencias de las soluciones.

Con centro en C1 y C2 y radios hasta T1 y T2 podemos trazar las DOS primeras circunferencias de la solución. Dibujadas en color azul en la siguiente imagen.

Para hallar el resto de soluciones repetimos el proceso cambiando los elementos de trabajo.

B1. Planteamiento del problema. Hipótesis de inversión 2.

Volvemos a repetir el proceso, esta vez utilizamos la circunferencia mayor (suma de radios) y la recta más cercana a C1.

En la prolongación del diámetro I-A se encontrará el inverso de B el punto Bi, concretamente en la intersección con la recta más cercana a la circunferencia.

Realizando la construcción con el arco capaz entre el centro de inversión (I) y Bi hallaremos el punto N y la nueva circunferencia de puntos dobles (c.p.d.2) que tiene de radio I-N.

B2. Hallar el centro radical y el inverso de O1.

El nuevo centro radical CR-2 se situará en la recta más cercana a las circunferencias y en el punto de intersección de la circunferencia (cpd-2) de autoinversión y el arco capaz entre I-O1 hallaremos el punto M que proyectado sobre el eje nos dará el inverso de O1: el punto Oi2.
NOTA: un error frecuente es pensar que el punto inverso de O1, el punto Oi2, es el centro de la circunferencia inversa de C1. Pero este punto no coincide con el centro de la circunferencia inversa. 


B3. Cicunferencia auxiliar y mediatriz.

Dibujamos la nueva circunferencia auxiliar con cetro en la mediatriz y que pasa por O1 y por  Oi2.

B4. Hallar el punto de tangencia desde el CR-2 a la circunferencia auxiliar.

Con el arco capaz entre CR-2 y O aux-2 hallaremos el punto de tangencia que proyectaremos sobre la recta paralela más cercana a las circunferencias. En la perpendicular sobre (r) estarán los puntos de tangencia T3 y T4 y en la mediatriz los centros C3 y C4.

B5. Trazar las circunferencias de las soluciones.

Con centro en C3 y C4 yradios hasta T3 y T4 trazaremos otras dos circunferencias de la solución.

Hemos hallado CUATRO de las OCHO soluciones posibles, utilizando siempre la inversión positiva. Podemos utilizar la inversión negativa y hallar otras cuatro circunferencias.

INVERSIÓN NEGATIVA

El método es siempre el mismo, sólo cambiamos el centro de la inversión y la recta de trabajo. En la imagen siguiente se observa como tomamos la inversión negativa y que recta utilizamos para resolver otras dos circunferencias.


Las dos circunferencias que faltan se resuelven tomando el centro de inversión negativo en la circunferencia exterior de C2 y trabajando en la recta paralela más alejada. Como vemos en la siguiente imagen.


Puedes consultar otros problemas de Apolonio realizados en el Blog en la lista del índice del apartado de Dibujo Técnico (aquí).