domingo, 18 de octubre de 2015

La mediatriz

Definición:

Se define como mediatriz a la recta, lugar geométrico, cuyos puntos son equidistantes a los extremos de un segmento perpendicular a dicha recta.

Mediatriz de un segmento: Si AB es un segmento y P un punto que equidista de los puntos A y B, donde los segmentos AP y BP son iguales. Entonces la recta bisectriz del ángulo que forman APB es la mediatriz de ese segmento.

Fig.1

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico -la recta- de los puntos del plano que equidistan de los extremos de dicho segmento.

Su importancia geométrica:

Cuando un polígono tiene una circunferencia circunscrita se llama polígono cíclico. Las mediatrices de los lados de estos polígonos se cortan en el centro de esa circunferencia.
Este punto se denomina circuncentro.

Fig. 2

Existen diversos casos en que debemos hallar las mediatrices para solucionar un problema. Si tenemos un polígono o una serie de puntos, los vértices, de un polígono cíclico podremos averiguar el centro de la circunferencia que los circunscribe. También podemos utilizar las mediatrices para averiguar el lugar geométrico equidistante entre dos puntos.

Esto último puede tener aplicaciones interesantes en programas de localización para, por ejemplo, optimizar recorridos de un vehículo (una ambulancia, etc.).

Un ejemplo clásico es el llamado problema de Manhattan o de la geometría del taxista.

En la geometría euclidiana la distancia más corta entre dos puntos resulta de la unión mediante una recta de esos puntos. Sin embargo esto no es así cuando la referencia del sistema varía. Por ejemplo en una geometría curva, como la de nuestro universo o la de la Tierra, la distancia más corta entre dos puntos ya no es una recta sino una curva. Para ir de Sídney a Madrid el avión trazará una línea curva para seguir el recorrido más económico.

Sin embargo podemos suponer otros sistemas de referencia en el plano, como el que se produce en ciertas ciudades con gran regularidad. Ciudades donde el diseño de sus manzanas es prácticamente una cuadrícula. Es el caso de de Nueva York en el área de Manhattan o de Barcelona en su ensanche.

Fig.3

En estos casos si un taxista quiere ir de un extremo a otro de la ciudad se encuentra que las distancias de la geometría clásica ya no son siempre válidas. No puede ir en diagonal atravesando edificios. En estos casos la mediatriz adquiere gran importancia para optimizar los recorridos.





SOLUCIÓN 2

SOLUCIÓN EJERCICIO 2 (Geogebra)
Enunciado aquí

Para solucionar este problema te debes dar cuenta que las distancias que unen a Eva a Fernando y a Carlitos forman un triángulo.

Entonces aplicamos el concepto de MEDIATRIZ: que es la región del plano en que sus puntos equidistan a los extremos de un segmento. En este caso podemos hallar la mediatriz de cada lado del triángulo.

La intersección de las tres mediatrices nos proporciona un punto: el circuncentro. El centro de la circunferencia que circunscribe al polígono, en este caso un triángulo. A partir de ahí -el centro-, podemos determinar la región del plano que cumple las condiciones del problema. Carlitos debe estar más cerca del colegio y su madre, Eva, debe ser la que esté más alejada de la nueva vivienda.

La nueva vivienda de la familia se debe situar -para cumplir las condiciones del problema-, sobre el segmento que une los puntos J y K (en color rojo en la figura). A medida que la vivienda se sitúe cercana al punto (K) Eva estará más lejos de su trabajo. Mientras que Carlitos y su progenitor seguirán estando a la misma distancia de sus destinos.


Puedes comprobar la solución en la siguiente imagen e interactuar en ella en Geogebra para comprobar cómo varían las distancias en cada caso.






EJERCICIO 2

Eva y Fernando se acaban de trasladar a la ciudad. Carlitos, su hijo, va a comenzar el colegio. Cada uno de los padres trabaja en un extremo de la ciudad y el colegio se encuentra entre ambos trabajos, según la figura adjunta. Todos quieren estar lo más cerca de sus destinos, pero:

¿Dónde deberían vivir para que el niño haga el menor recorrido para ir al colegio y Eva sea la que más camino recorra para ir a su trabajo?




Figura del ejercicio 2

¿Lo has solucionado? Para ver la SOLUCIÓN al EJERCICIO 2 debes pulsar el botón que se encuentra en la parte inferior de esta entrada.


Ideas de problemas similares para desarrollar:

Opción 1.

En el parque de la figura hay una serie de papeleras en los puntos A, B, C y D. Dibuja el conjunto de puntos del parque para los que la papelera más cercana sea la situada en el punto A.


Opción 2.

¿En qué punto de una vía férrea hay que situar una estación, de modo que se encuentre a la misma distancia de los pueblos A y B?






viernes, 9 de octubre de 2015

SOLUCIÓN 1


SOLUCIÓN EJERCICIO 1 (Geogebra)

Para solucionar de manera sencilla el problema debemos aplicar el teorema de Pitágoras. Este teorema establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Paso 1. Nuestras estanterías son cuadradas y, por tanto, podemos establecer que los lados de los catetos de nuestro triángulo rectángulo son los lados de las estanterías.
Para ello dibujamos un triángulo rectángulo cuyos lados menores, o catetos, son los lados de las estanterías de 4 y 3 filas. A continuación levantamos un cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo que hemos creado.
Observe el lector que no hemos necesitado conocer la separación entre baldas, porque son todas iguales, ni tampoco la altura de las estanterías porque ambas son cuadradas.
El resultado gráficamente se muestra en la figura siguiente.


Paso 2. Una vez construida la superficie de la nueva estantería, sombreada en verde, procedemos a calcular el número de baldas para colocar los libros.

Para ello podemos transportar las distancias de una de las estanterías a la nueva superficie. Elegimos el punto común A como centro de la translación y realizamos las circunferencias con radio la distancia entre las baldas; obteniendo los puntos de intersección: Q, R, S y T en la nueva estantería. Observamos que disponemos de 5 filas. Esta es la solución al problema planteado.


Para concluir diremos que necesitamos 5 filas de libros en la nueva estantería. Una estantería cuadrada de 5 filas, con una separación idéntica entre sus baldas, tiene la misma superficie que la suma de las dos estanterías cuadradas de 3 y 4 filas. Efectivamente podemos comprobar que aplicando el teorema de Pitágoras la suma: (4·4)+(3·3) = 16+9 = 25

Aquí tienes la solución en Geogebra. Puedes comprobar que desplazando los puntos A, B y C varia la superficie de los cuadrados de tal manera que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.



Pregunta para la reflexión: ¿se te ocurre otra manera gráfica de plantear el problema?
Sugerencia. A partir de los rectángulos que forman las estanterías se puede formar una nueva superficie cuadrada.

Si quieres realizar algún comentario te invitamos a que nos escribas en los comentarios.



jueves, 8 de octubre de 2015

EJERCICIO 1

Un librero tiene dos estanterías cuadradas repletas de libros en su tienda. Una estantería dispone de 4 filas de libros mientras que la otra tiene 3 filas. En ambas estanterías las baldas con libros están separadas a la misma altura.


El librero quiere hacer una nueva estantería cuadrada para colocar en ella todos sus libros. Si mantenemos la misma separación entre las baldas de libros, ¿cuántas filas de libros tendrá como mínimo la nueva estantería?


Para ver la solución al problema pulsa el botón. Encontrarás la respuesta explicada paso a paso y de forma dinámica, con el programa Geogebra.