jueves, 25 de febrero de 2016

DOS EJERCICIOS DE PAU

A continuación se resuelven dos ejercicios propuestos en las pruebas de acceso a la universidad PAU. Para ver su solución pulsa el botón de reproducir que aparece, abajo, en la aplicación Geogebra.
 
Ejercicio propuesto en selectividad en 2011.



Ejercicio propuesto en selectividad en 2014.

viernes, 19 de febrero de 2016

EJERCICIO: CIRCUNFERENCIAS TANGENTES CPR

El siguiente ejercicio fue propuesto en un examen de 1º de Bachillerato.

El enunciado solicitaba obtener las circunferencias tangentes a una circunferencia de centro C, una recta tangente (r) y un punto de tangencia (T) según la figura adjunta.


Si examinamos el problema  nos daremos cuenta que hay dos circunferencias soluciones. Una a cada lado de la recta tangente (r) que comparten el punto tangente (T) y son interiores a la circunferencia dada.
Los centros de las circunferencias se deben situar en la perpendicular a la recta (r) en el punto de tangencia (T).
El problema consiste en determinar los centros de las circunferencias solución y los puntos de tangencia con la circunferencia dada.

Existen varias maneras de resolver este problema, una es calculando la diferencia de radios, otra sería aplicando el concepto de inversión.

Otra manera de enfocar el problema es si nos percartarmos de que el arco capaz de 90º que pasa por el punto T nos definirá los puntos de tangencia comunes (sol-1 y sol-2). Por tanto bastaría con unir los extremos del diámetro, paralelo a la recta que contiene los centros de las circunferencias buscadas, con el punto T para hallar los puntos de tangencia comunes en la circunferencia dada.

Esto ocurre en aplicación directa del teorema de Tales. Si nos fijamos la recta que corta a las circunferencias soluciones por el punto T y el punto de tangencia común a la circunferencia envolvente son los puntos que dividen a las circunferencias solución en partes proporcionales iguales. Esto es la razón de los segmentos de corte es igual. Y este caso sólo ocurre en el punto de tangencia común de ambas circunferencias.

Sin embargo el concepto que hay detrás la solución comentada es la inversión.  Para ello debemos suponer que la recta dada se invierte en la circunferencia y viceversa.

Entonces la circunferencia de autoinversión (en rojo) quedaría definida por los puntos de corte de la recta con la circunferencia y tendría como centro el extremo del diámetro perpendicular a la recta. Pero en este caso hay dos soluciones, luego tendríamos que utilizar ambos extremos del diámetro, en la figura son los puntos E y F que son los centros de cada inversión del punto T. Por último T` y T´1 son los puntos de tangencia buscados.





Puedes comprobar aquí la solución, de manera dinámica.

sábado, 13 de febrero de 2016

Potencia de un punto

La potencia es un concepto fundamental en la geometría métrica. Nos servirá, por ejemplo, para realizar tangentes a una circunferencia.

Si por un punto P exterior a una circunferencia de centro O  trazamos cualquier segmento desde P que corte a la circunferencia en dos puntos A, B, se cumplirá que PA·PB es constante, independientemente de la posición del segmento trazado. El valor de dicha constante se denomina la potencia del punto P.

Puedes comprobar el concepto de potencia en la siguiente figura, realizada con Geogebra, y desplazar los puntos P o B para cambiar el tamaño de la figura.


martes, 9 de febrero de 2016

Centro radical y circunferencia ortogonal (CCC)

Ejercicio:

Dadas tres circunferencias obtener la circunferencia ortogonal y el centro radical.

Solución I.

Vamos a analizar la solución diferenciando el caso en que dos de las circunferencias se cortan (Caso I) y cuando las tres circunferencias son exteriores (Caso II).

En el primer caso propuesto dos de las circunferencias dadas se cortan. Este caso nos permite obtener uno de los ejes radicales directamente trazando dicho eje por los puntos de intersección (puntos de potencia cero).

Para obtener el segundo eje radical, en las circunferencias que no se cortan, procedemos  a dibujar una circunferencia auxiliar (en color azul) que nos dará dos rectas que se cortan en un punto. Desde ese punto trazaremos la recta perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias para obtener el segundo eje radical (en color rojo).

El punto de intersección de los ejes radicales será el centro radical (CR). Trazando la circunferencia de centro CR hasta los puntos de tangencia a las circunferencias dadas obtenemos la circunferencia ortogonal a las tres.

(Geogebra. Puedes desplazar los puntos C y B para cambiar el tamaño de la figura).




Solución II.

En el  siguiente caso las circunferencias no se cortan.

En este caso procedemos  a dibujar DOS circunferencias auxiliares, una para cada dos circunferencias con sus respectivas rectas uniendo los puntos de corte (en color azul).

Cada par de rectas  se cortan en un punto desde donde trazaremos la recta perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias para obtener los dos ejes radicales (en color rojo).

Una vez determinados los ejes radicales el punto de intersección de éstos será el centro radical (CR) y de la circunferencia ortogonal a las tres circunferencias dadas. Por último, para trazar dicha circunferencia, utilizamos el radio determinado desde CR hasta los puntos de tangencia de las tres circunferencias, que son los puntos con la misma potencia.


 (Geogebra. Puedes desplazar los puntos C y B para cambiar el tamaño de la figura).

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas.

EJE RADICAL es el lugar geométrico de los centros C de todas las circunferencias ortogonales a C1 y C2
Se cumplen las siguientes relaciones:
r1= r2 = R
d1²p1² + r1²
d2² = p2² + r2²
 
d1²- d2² = p1² - p2² = cte

miércoles, 3 de febrero de 2016

Teorema de Tales

 El teorema de Tales, también escrito Thales, debe su nombre al matemático griego Tales de Mileto (S. VI a. C.). En realidad dicho teorema son dos teoremas intrínsecamente relacionados por la geometría clásica. Esto es, son dos teoremas fundamentales de la ciencia que estudia las figuras geométricas basadas en los elementos de Euclides.

Mientras que el primer teorema explica la forma de construir un triángulo semejante a otro existente, el segundo teorema hace referencia a una propiedad singular de los triángulos rectángulos: la ubicación del lugar geométrico llamado circuncentro.

El circuncentro en los triángulos rectángulos se encuentra siempre en el punto medio de la hipotenusa y resulta ser el punto del plano ─centro de la circunferencia─, que contiene a los tres vértices del triángulo. Estos teoremas se pueden expresar de la siguiente manera:

Teorema primero.

"Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado".

Como se puede observar en la figura anterior los triángulos sombreados de vértices ABC y AFJ son semejantes.

Se dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. En el ejemplo se puede ver que dos lados homólogos son BC y FJ. A su vez son ángulos homólogos los  que forman los puntos ABC y los puntos AJF. Siendo en ambos casos ángulos rectos (90º).



Teorema segundo.

"Sea C un punto de la circunferencia de diámetro AB, distinto de A y de B. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo".



Como se puede observar en la figura anteriortodos los triángulos que podamos formar con cualquier punto de la circunferencia que recorre desde el punto A hasta el B, que tiene por radio la mitad del segmento AB, son triángulos rectángulos. Siendo el punto D el centro de la circunferencia, llamado circuncentro.

Mientras que en el primer teorema no era condición necesaria que el triángulo fuese rectángulo, en el segundo teorema se nos desvela una propiedad fundamental de la geometría: todos triángulos que cumplen con la condición de tener un vértice en la circunferencia de centro D son triángulos rectángulos.


Aplicación del primer caso.

Como se aprecia en la siguiente figura, se ha troceado el triángulo ABC de forma que la hipotenusa está dividida en cinco partes iguales de 2 unidades cada una.

Aplicando el primer teorema de Tales trazamos paralelas al tercer lado, el BC, por cada una de las divisiones para obtener los puntos L, K, J e I que determinan cinco segmentos de igual longitud.




Ahora podemos observar que se cumple la misma proporción entre la longitud de los distintos segmentos en el lado AC con las correspondientes al lado AB. De esta manera hemos conseguido dividir uno de los catetos del triángulo en partes iguales; únicamente conociendo las distancias entre puntos del lado opuesto.

Por tanto si tenemos dos segmentos que se cortan en un punto, podemos dividir el otro trazando paralelas a la recta que une los extremos de dichos segmentos.

         El resultado de la figura anterior, expresado en forma de fracción quedaría así:




La proporción de los segmentos en los que quedan divididos los lados son iguales. A la vez, podemos observar que los triángulos sombreados de la figura también son semejantes.



Tales de Mileto y la medición de la pirámide de Keops.

Uno de los episodios más conocidos del matemático griego Tales de Mileto fue la medición de la pirámide Keops. Para hacer esta proeza se sirvió únicamente de una cuerda.

Tales dibujó en la arena un círculo con un radio igual a su propia estatura, se situó en el centro y se puso de pie bien derecho. Luego fijó los ojos en el borde extremo de su sombra hasta que esta tocó la circunferencia, es decir, cuando la longitud de la sombra fue igual a su estatura. Entonces dio orden a su ayudante para que midiera la sombra de la pirámide, porque en ese momento coincidiría con su altura. Así consiguió Tales conocer la altura de la pirámide.




Imagen de la pirámide de Keops

«Kheops-Pyramid» de Nina - Trabajo propio. Disponible bajo la licencia CC BY 2.5 vía Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kheops-Pyramid.jpg#/media/File:Kheops-Pyramid.jpg


Efectivamente lo que hizo Tales fue aplicar el teorema que lleva su nombre, en ese momento del día el triángulo que formaban él y su sombra era semejante al de la altura de la pirámide con su sombra.


 Aplicación del segundo caso.

El segundo teorema puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia dada, que además pasen por un punto A conocido y externo a la misma.



Si tenemos una circunferencia y queremos averiguar las tangentes a dicha circunferencia desde un punto exterior a la circunferencia, aplicamos la propiedad expresada en el segundo teorema de Tales.

En la figura superior se observa cómo se localizarían las tangentes a una circunferencia dada desde el punto A. Para ello hallamos la circunferencia desde A hasta el centro (C), con radio la mitad de AC.

Por el teorema de Tales sabemos que los segmentos que unan el centro de la circunferencia dada con un punto N de la nueva circunferencia serán perpendiculares al segmento formado por AN. De esta manera si el punto seleccionado N pertenece a su vez a ambas circunferencias tendremos, también, el punto de tangencia desde A.

Y con esta aplicación concluimos la explicación del teorema de Tales.

Arco Capaz

A continuación puedes ver la descripción de Arco Capaz.

Puedes desplazar los puntos situados en la circunferencia para comprobar las propiedades de un arco capaz de 90º, realizado sobre el diámetro, y de un arco capaz sobre otro segmento que corta a la circunferencia.