lunes, 20 de marzo de 2017

Cambios de base. Sistemas binario, decimal, octal...

Un tema destacado con la introducción de las nuevas tecnologías es comprender cómo se pasa de un sistema decimal, el que empleamos habitualmente, a otro sistema como el binario utilizado por los computadores. Y viceversa, cómo pasar de un sistema por ejemplo hexadecimal a nuestro sistema decimal.

Cambio de decimal a base siete
En nuestro sistema de numeración empleamos diez digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tenemos un sistema en base diez. Sin embargo existen otros sistemas de numeración que en ocasiones pueden ser más utiles para una determinada tarea.

Así en un sistema binario empleamos sólo dos cifras: 0, 1. Mientras que en un sistema octal empleamos ocho: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Si es hexadecimal utilizaremos dieciséis cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.


En ocasiones puede resultar mejor trabajar en una base diferente a la decimal. Si por ejemplo queremos expresar el número 4.294.967.297 de una forma más cómoda podríamos hacerlo expresándolo como una potencia de dos y sumado una unidad así: 1+2^32. Concretamente el número anterior es número de Fermat. Y en la imagen siguiente vemos como dando valores a n= 1, 2, 3,... obtenemos estos números. En nuestro ejemplo n = 5.


Los números de Fermat tienen curiosas propiedades, una es que son fáciles de escribir si los expresamos en base hexadecimal. Para hacer esto basta con escribir un 1 y colocar 2n-2 - 1 ceros, luego escribiríamos otro 1 al final y tendríamos el número de Fermat en base hexadecimal. Nuestro ejemplo con n=5 resultaría 25-2-1 = 23-1= 7. Colocaríamos siete ceros, sería de la siguiente manera:

Cuando pasamos un número de una base a otra o cuando trabajamos en una base diferente a la decimal: escribimos un paréntesis bajo al final del número indicando su base.

Con el ejemplo anterior hemos visto que en ocasiones puede resultar más fácil trabajar en una base que no sea decimal. Así las computadoras utilizan el sistema binario para hacer cálculos. Pero, ¿cómo pasamos de un sistema decimal a uno binario? Veamos un ejemplo para entenderlo.

Vamos a calcular el número 230 en base decimal y lo pasaremos a base dos, binario.



Como podemos observar en la imagen realizamos divisiones sucesivas del número dado en base decimal entre la base a la cual queremos transformar el número, en este caso 2. Así vamos obteniendo unos restos, que al dividir entre 2 sólo pueden ser 0 y 1.

Cuando llegamos a un cociente menor que la base, en este caso 1, dejamos de dividir. Para escribir el número en base dos lo único que tenemos que hacer es escribir el último cociente (1) seguido de los restos que nos habían quedado (1100110) en orden inverso a como los habíamos obtenido y tendremos el número en base dos o binario, así 230 en decimal es 11100110 en binario.

El proceso anterior sirve para pasar cualquier número en base decimal a otra base, basta realizar la divisiones sucesivas entre el valor de la base. Pero, ¿cómo pasamos de una base x a nuestro sistema decimal?


Paso de un número "m" en una base dada al sistema decimal 


Para poder realizar el proceso inverso, el paso de un número escrito en una base cualquiera diferente a la decimal primero debemos conocer el Teorema fundamental de la numeración, que dice lo siguiente.

En una base b>1, todo número natural "m" se expresa de forma única mediante la expresión


donde los coeficientes (a0, a1...) son números naturales menores que "b".


Conocido el teorema de la numeración, vamos a pasar un número dado en una base diferente a la decimal con la ecuación anterior. Supongamos que queremos pasar al sistema decimal el número 4310 escrito en base 5. Entonces haremos lo siguiente:

 
Lo que hemos hecho ha sido ir cifra por cifra y aplicamos el teorema fundamental de la numeración. Multiplicamos cada coeficiente por la base elevada según la posición de la cifra. Así 4 estará multiplicado por la base 5 elevada a 3, el siguiente número, el 3, estará multiplicado por la base 5 elevada a 2, y así sucesivamente.

Vamos a realizar otro ejemplo con el número en binario anterior. Queremos pasar 11100110 escrito en binario a sistema decimal. Aplicamos la fórmula.



Comprobamos después de operar que el resultado es 230 en sistema decimal, tal y como habíamos calculado anteriormente al realizar el proceso inverso.


Anotación final - Fórmula general

 

Con la expresión descrita anteriormente en el teorema fundamental de la numeración podemos escribir los números naturales. Si quisiéramos escribir un número con cifras decimales deberíamos emplear la siguiente formulación, donde debemos tener en cuenta la posición de la coma y el número de cifras decimales.

A título informativo, la fórmula general para expresar un número en sistema de numeración posicional de base b, sería la siguiente:



En sistema decimal incluyendo cifras decimales esta:


Donde "d" son ahora los coeficientes y a partir de "d0" tenemos la parte decimal. Si queremos hacerlo en otra base cambiaríamos el 10 por el número de la base.

Ejemplo. Para expresar 1492,36 en sistema decimal podríamos realizarlo así:



Para concluir con esta entrada al blog, os dejo unos enlaces a diferentes herramientas online para calcular números en distintas bases.


Referencias

WIMS. Calculadora online para realizar cambios de base.
Teorema fundamental de la numeración.

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