jueves, 2 de marzo de 2017

El método de Fermat y el número 100 895 598 169


Pierre de Fermat (1601-1665) tenía por costumbre no publicar sus descubrimientos matemáticos. Su profesión era el derecho y trabajaba como magistrado y consejero del Parlamento de Toulouse, Francia.

Fermat se consideraba un mero aficionado a las matemáticas, algo que estudiaba y con lo que disfrutaba en su tiempo libre. Por eso durante su vida publicó un único ensayo de sus descubrimientos. Sin embargo Fermat se ganó el reconocimiento de la comunidad de científicos y matemáticos a través de las cartas que escribía. En algunas de estas cartas Fermat retaba a los mejores matemáticos de la época a demostrar problemas que él decía haber resuelto.

Posteriormente uno de sus hijos recopiló los trabajos y anotaciones que encontró de su padre y los publicó en un libro. Gracias a este libro hoy podemos conocer buena parte de los trabajos de Fermat.

Entre los documentos dados a conocer se encontraban diversas cartas y anotaciones que Fermat escribía en los márgenes de los libros que estudiaba. Una de las anotaciones más famosas fue la realizada en el libro de Aritmética de Diofanto, un libro traducido al latín por Bachet en 1621, y donde aparece el llamado último teorema de Fermat. En esa anotación Fermat comentó tener una solución maravillosa para demostrar este teorema. Desde entonces muchos buscaron la demostración hasta que en 1995 el teorema fue probado con unos métodos desconocidos en aquella época.

Dejando aparte el último teorema, en esta ocasión quisiera refererirme a una de las cartas publicadas en la que Marin Mersenne, un sacerdote, matemático y filósofo francés, solicitaba a Fermat si podía decirle los factores de un número, este:

100 895 598 169

A pesar de tratarse de un número de doce cifras la respuesta no se hizo esperar y en un breve periodo de tiempo Fermat respondió a Mersenne que dicho número era el producto de 112303 por 898423. Además sugería que ambos factores deberían ser números primos (que lo son).

Es difícil imaginar, en un mundo sin calculadoras, cómo pudo Fermat conseguir semejante respuesta. Desde entonces se ha intentado descubrir cómo lo hizo. Unos han sugerido que se perdió una técnica de factorización y otros que Fermat encontró una vía rápida para descomponer ese número. Lo que sí se conoce es un método, propuesto por el propio Fermat, para descomponer números. Es un método que hoy se sigue utilizando aunque ese método "parece" que no es práctico cuando se aplica al mencionado número de doce cifras. Vamos a explicar su método.

El método de factorización de Fermat consiste en aplicar la ecuación: (c + d)·(c - d) = c² - d²

Esto quiere decir que una diferencia de cuadrados se puede expresar como producto de dos factores. Así en la siguiente imagen podemos ver como la figura de aspecto cuadrado de 4²-1² partes iguales se transforma en un rectángulo de 3·5 partes iguales.

Aplicando la idea propuesta por Fermat hemos hallado un producto de dos números 3·5, que es 15, partiendo de una diferencia de dos cuadrados que también es 15. En general podemos aplicar esta idea para los números compuestos, directamente para todos los impares.

En la siguiente tabla observamos que restando los cuadrados de las filas menos los de las columnas nos van quedando los números compuestos, excepto los de la primera diagonal que es donde encontraremos ordenados todos los impares y los números primos.



Si por ejemplo queremos hallar los factores de 91 podemos ver que este número está en la fila de 100 y la columna de 9. Efectivamente 100-9=91. Por lo tanto (10+3) y (10-3) son sus factores y 13·7=91. Además con la tabla anterior es fácil ver que 91 está en la diagonal de 13 y que todos los números en cada diagonal son múltiplos del primer número.

Para calcular los factores de 91 matemáticamente aplicamos la ecuación (c + d)·(c - d) = c² - d²
Entonces efectuaremos los siguientes pasos:
  1. Calculamos la raíz de 91. Tomamos c=10 porque 91 está entre 9·9=81 y 10·10=100. 
  2. Después despejamos "d" de la ecuación 91 = 10² - d².  Así calcularemos que d=3.
  3. Para concluir introduciremos los datos en la ecuación y tendremos (10-3)·(10+3) = 91
Como se puede observar con números pequeños o cuando determinemos uno de los cuadrados el cálculo resulta sencillo.

En el caso de que el primer valor que tomamos como "c" no tuviese solución en la ecuación como otro cuadrado: probaríamos con el siguiente cuadrado, en este caso de 100 pasararíamos a 121 y así sucesivamente hasta encontrar un resultado en el que la diferencia de dos cuadrados fuese el número buscado. Pero, ¿qué puede ocurrir con números grandes como el de Mersenne?

Con números demasiado grandes lo habitual es que el proceso no resulte práctico y se tarde mucho en encontrar dos cuadrados que restados den el número que buscamos. En el caso del número 100895598169 la ecuación a plantear sería la siguiente:

(505363-393060)•(505363+393060)=505363²-393060²

Para conocer la incógnita "c" tendríamos que probar números desde el 317641, el número más cercano a la raíz cuadrada del número dado, hasta encontrar 505363 y comprobar que la diferencia con otro cuadrado es el número buscado. Algo irrealizable a mano, con lápiz y papel.

Entonces, ¿cómo lo hizo Fermat?

Esta pregunta sigue siendo un misterio porque Fermat no publicaba los procedimientos que utilizaba. También es posible que Mersenne ya conociera de antemano la solución a su pregunta y simplemente quisiera forzar a Fermat a revelar más información sobre sus métodos.

La operación de multiplicar dos números es sencilla, sin embargo descomponer un número grande en factores puede resultar muy difícil. Así el número propuesto por Mersenne era difícil de factorizar con el método de Fermat.

Por otra parte, en 1654 Fermat escribió a Pascal: "Lo que vos encontrareis más interesante es lo concerniente a la proposición de que cualquier número está compuesto de uno, de dos o de tres triángulos; de uno, de dos, de tres o de cuatro cuadrados; de uno, de dos, de tres, de cuatro o de cinco pentágonos y así hasta el infinito".

Para hallar la solución podemos especular que el número dado en vez de con una diferencia de cuadrados se tratara con una diferencia o suma de triángulos. Si ponemos el ejemplo del número 15 gráficamente la solución resultaría como en la siguiente imagen.



Y si planteamos el problema de esta manera, parece que ahora sí podemos abordar la descomposición del número de una manera sencilla.

En base a lo anterior, a continuación se describen las operaciones que podría haber efectuado Fermat para factorizar el número de Mersenne (Mn=100895598169).

1. Comenzamos hallando los lados del triángulo con el valor más cercano posible a Mn, según esta expresión: (L² + L) / 2 = Mn

2. Para despejar el valor de "L" resolvemos la ecuación de segundo grado L² + L - 2Mn = 0
Obteniendo un valor para L = 449211,2500002

3. Con la parte entera E = 449211  hallamos la superficie "S" de un nuevo triángulo.
(E² + E) / 2 = 100895485866  valor de S.

4. A continuación restamos el valor obtenido de la superficie del triángulo de lado E al número Mn para hallar "R", el resto. Esto es  Mn - S = 112303 valor del resto R.

5. Por último dividimos el número Mn entre R, que resulta ser un número exacto con lo que probamos que el resto calculado es directamente un factor. 100895598169 / 112303 = 898423

Por tanto la solución es 898423 • 112303 = 100895598169

Si nos fijamos en la imagen anterior lo que hemos hecho con este procedimiento es intentar definir el número mediante triángulos. Entonces ha dado la "casualidad" que al formar el primer triángulo el resto que nos quedaba era el lado menor del rectángulo que buscábamos.


No hay comentarios:

Publicar un comentario