domingo, 24 de diciembre de 2017

Ejercicio de acceso a la Universidad de 2008

El siguiente ejercicio pertenece a las pruebas de acceso a la Universidad del año 2008. Se trataba de hallar las circunferencias tangentes a una circunferencia (c) que pasara por dos puntos dados (A y B). La peculiaridad del ejercicio es que los puntos estaban dentro de la circunferencia.


Para resolver este ejercicio seguiremos el procedimiento habitual. Nos apoyaremos en una circunferencia auxiliar (perteneciente haz de circunferencias de los puntos A y B) con la condición de que corte a la circunferencia que nos dan.

Primero hallaremos el centro radical, luego los puntos de tangencia y por último los centros de las circunferencias de la solución. Los pasos detallados son los siguientes:

1. Hallar el centro radical con ayuda de una circunferencia auxiliar (del haz).

Las circunferencias que buscamos tienen sus centros en la mediatriz de los puntos A y B. Así que trazamos una circunferencia auxiliar, cualquiera que pase por A y B y corte a la circunferencia que nos dan.



2. Hallar la tangente desde el Centro Radical a la circunferencia auxiliar (punto T).

El centro radical queda definido por la intersección de dos ejes radicales. Por un lado tenemos el eje que forman los puntos A y B y por otro el eje de la intersección de la circunferencia auxiliar con la del enunciado. Si trazamos el arco capaz de 90º desde el CR hasta el centro de la auxiliar, en la intersección estará el punto de tangencia (T).



3. Hallar los puntos de tangencia T1 y T2. 

La potencia desde CR hasta T es la misma que a T1 y T2, siendo estos dos últimos los puntos de tangencia en la circunferencia dada. Trazando el arco CR-T obtenemos los puntos T1 y T2, luego ya tenemos tres puntos de las circunferencias que buscamos y las podemos dibujar. 

Por último, si unimos los puntos de tangencia T1 y T2 con el centro O en la intersección con la mediatriz encontraremos los centros de las circunferencias que buscamos.


Como se puede ver en la imagen las circunferencias de la solución, de color azul, pasan por los puntos A y B, son tangentes a la dada y tienen sus centros en la mediatriz de esos dos puntos.

En definitiva, teniendo nuestras ideas claras se trata de un ejercicio que podemos resolver en pocos minutos.

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